Besonderer Sinus Grenzwert

In diesem Artikel widmen wir uns folgendem Grenzwert:

\[\lim_{x \to 0} \frac{sinx}{x} \]

Offensichtlich ist es nicht ganz einfach diesen zu bestimmen, da wir keinesfalls einfach 0 für x einsetzen dürfen. Zwar ist der Sinus von 0 definiert und ergibt 0, doch der Nenner bereitet uns Problem, da wir besser nicht durch 0 teilen sollten. Überraschenderweise ist der Grenzwert dennoch definiert und ergibt sogar ein sinnvolles Ergebnis.

Was uns anfangs helfen kann ist eine Übersicht der Funktion, also ein Plot:

Zwar ist die Funktion für x=0 nicht definiert, aber wir bekommen einen starken Hinweis darauf, dass der Grenzwert dennoch 1 sein könnte. Schauen wir uns mal an, wieso das wohl stimmt. Dazu benötigen wir allerdings einige trigonometrische Zusammenhänge, sodass diese Grundlagen bekannt sein sollten. Beginnen wir mit einer Skizze des Einheitskreises:

Wie immer ist der gewählte Radius gleich 1. Damit können wir alle eingezeichneten Punkte als Punkte in einem kartesischen Koordinatensystem auffassen. Die Punkte sind wie folgt definiert:

Z (Zentrum): (0,0)

A (1,0)

B (cos x, 0)

C (cos x, sin x)

D (1, tan x)

X ist unsere Variable, wie wir sie auch im Grenzwert verwenden. Wir messen die Einheit in Radiant, sodass beispielsweise 90° hier nun

\[\frac{\pi}{2} \]

entsprechen. Wir werden uns bei diesem Grenzwert auf den 1. Quadranten beschränken, da x immerhin gegen 0 laufen soll. In diesem Fall können wir nur Werte zulassen, für die gilt:

\[|x|<\frac{\pi}{2} \]

Betrachten wir nun drei ineinander liegende Flächen, die wir über unsere bekannten Punkte definieren können. Das kleine Dreieck ist Z,B,C. Der Flächeninhalt ist einfach zu bestimmen (0,5 * Grundfläche * Höhe) und ist für dieses Dreieck damit

\[\frac{sinx cosx}{2} \]

Die zweite Fläche ist ein Kreissegment und beinhaltet das kleine Dreieck Z,B,C. Das Kreissegment definiert sich über die Punkte Z,A,C. Die Fläche des Kreissegments ist

\[r^{2}\pi \frac{x}{2\pi } = \frac{x}{2} \]

Das kleine Dreieck und das Kreissegment liegen wiederum in dem großen Dreieck Z,A,D. Dessen Fläche ist

\[\frac{1* tanx}{2} = \frac{tanx}{2} \]

Nun haben wir die drei benötigten Flächen definiert. Zusammenfassend kann man damit sagen, dass folgende Beziehungen gelten:

\[F(Z,B,C)\leq F(Z,A,C)\leq F(Z,A,D)\]

beziehungsweise

\[\frac{sinx cosx}{2}\leq\frac{x}{2}\leq\frac{tanx}{2}\]

Mit diesen Grundlagen können wir nun auf Seite zwei fortfahren.

Anhand der Skizze konnten wir anschaulich herleiten, dass folgende Beziehung gilt:

\[\frac{sinx cosx}{2}\leq\frac{x}{2}\leq\frac{tanx}{2}\]

Nun sollten wir schauen, was das mit unserem ursprünglichen Problem zu tun hat. Beginnen wir mit der rechten Ungleichung:

\[\frac{x}{2}\leq\frac{tanx}{2}\]

Diese können wir erst ein wenig vereinfachen:

\[x\leq tanx\]

\[x\leq \frac{sinx}{cosx} \]

\[cosx\leq \frac{sinx}{x} \]

Damit haben wir unsere Ursprungsfunktion gefunden und in ein Verhältnis gesetzt! Schauen wir uns jetzt die linke Seite der Ungleichung an:

\[\frac{sinx cosx}{2}\leq\frac{x}{2}\]

Über die Additionstheoreme können wir die linke Seite der Ungleichung auch umschreiben:

\[\frac{sinxcosx}{2}=\frac{1}{4}sin(2x) \]

Damit können wir nun deutlich einfacher weiterrechnen:

\[\frac{1}{4}sin(2x)\leq \frac{x}{2}\]

\[sin(2x)\leq 2x\]

\[\frac{sinx}{x}\leq 1 \]

Diese Teilergebnisse können wir nun wieder zusammenfassen und unseren Grenzwert damit gewissermaßen einkeilen:

\[cosx\leq \frac{sinx}{x} \leq 1\]

Damit sind wir eigentlich auch schon fertig. Wir wissen nun, dass der Grenzwert in jedem Fall kleiner oder gleich 1 sein muss. Ebenso wissen wir, dass der Grenzwert größer oder gleich cos(x) sein muss. Bekannterweise gilt:

\[\lim_{x \to 0} cosx=1 \]

Damit haben wir den gesuchten Grenzwert quasi zwischen zwei anderen eingesperrt. Man spricht auch von einem Einschnürsatz oder sandwich theorem.